Pályafutásának kezdetét Varga Ferencnek (akivel egy házban laktak) köszönhette, hiszen ő csábította a Budapesti (Újpesti) Dózsába kajakozni a fiatal reménységet. Az Öcsi becenevet tarsaitól kapta, amikor 17 évesen a válogatott tagja lett. Három évvel később, amikor Magyarország az egyik legnehezebb korszakát vészelte éppen át, 1956-ban Melbourne-ben Urányi Jánossal a dobogó legfelső fokára állhatott a 10 ezer méteres verseny végén.

Ez a győzelem volt a magyar kajak-kenu történelmének első olimpiai aranyérme. Emléküket örökké őrzi az Urányi-Fábián UTE kajak-kenu vízitelep, valamint a Magyar Olimpiai Bizottság. Fábián László huszonháromszoros magyar bajnok, négyszeres világ- és hatszoros Európa-bajnok volt.

Pályafutása után nem tudott elszakadni a legkedveltebb sportágától, így az UTE később pedig az MTK edzői stábját erősítette. Munkáját többszörösen elismerték: 2006-ban átvehette a Magyar Köztársaság Érdemrend tiszti keresztjét, 2012-ben a Gerevich Aladár-emlékérmet, 2016-ban pedig a magyar Fair Play-díjat életmű kategóriában.